Question

如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

-2＜k＜
分析：根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．
解答：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標(biāo)為1，
∵點B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標(biāo)為（，），
∴交點在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點B（2，0）時，×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜．
故答案為：-2＜k＜．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．