Question

8．已知，正方形ABCD，AB=2，點M，N是對角線BD上的兩個動點，且MN=$\sqrt{2}$，點P、Q分別是邊CD、BC的中點
（1）如圖1，連接PN，QM，求證：四邊形MQPN是平行四邊形
（2）如圖2，連接CM，PN，試探究是否存在CM+PN的最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形MQPN是平行四邊形，只要證明MN=PQ，MN∥PQ，根據(jù)三角形中位線定理即可解決．
（2）存在，如圖作點Q關(guān)于BD的對稱點H，連接CH與BD交于點M，此時CM+PN最�。�可以證明CM+PN=CH，求出CH即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠C=90°，BC=CD=AB=2，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BQ=QC，DP=PC，
∴PQ∥BD，PQ=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵MN=$\sqrt{2}$，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四邊形MQPN是平行四邊形．
（2）存在，利用如下，
解：如圖作點Q關(guān)于BD的對稱點H，連接CH與BD交于點M，此時CM+PN最小．
由（1）可知四邊形MQPN是平行四邊形，∴PN=MQ=HM，
∴PN+CM=NM+CM=CH，
根據(jù)兩點之間線段最短可知PN+CM的最小值=CH，
在RT△BCH中，∵BH=BQ=1，BC=2，
∴HC=$\sqrt{B{H}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴PN+CM的最小值為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、軸對稱等知識，學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．