8.已知,正方形ABCD,AB=2,點(diǎn)M,N是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且MN=$\sqrt{2}$,點(diǎn)P、Q分別是邊CD、BC的中點(diǎn)
(1)如圖1,連接PN,QM,求證:四邊形MQPN是平行四邊形
(2)如圖2,連接CM,PN,試探究是否存在CM+PN的最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)欲證明四邊形MQPN是平行四邊形,只要證明MN=PQ,MN∥PQ,根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可解決.
(2)存在,如圖作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,連接CH與BD交于點(diǎn)M,此時(shí)CM+PN最。梢宰C明CM+PN=CH,求出CH即可解決問(wèn)題.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,AB=2,
∴∠C=90°,BC=CD=AB=2,
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∵BQ=QC,DP=PC,
∴PQ∥BD,PQ=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$,
∵M(jìn)N=$\sqrt{2}$,
∴PQ=MN,PQ∥MN,
∴四邊形MQPN是平行四邊形.
(2)存在,利用如下,
解:如圖作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,連接CH與BD交于點(diǎn)M,此時(shí)CM+PN最。
由(1)可知四邊形MQPN是平行四邊形,∴PN=MQ=HM,
∴PN+CM=NM+CM=CH,
根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知PN+CM的最小值=CH,
在RT△BCH中,∵BH=BQ=1,BC=2,
∴HC=$\sqrt{B{H}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$.
∴PN+CM的最小值為$\sqrt{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí),學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題,屬于中考?碱}型.

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