Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）根據你的判斷：BD是⊙O的切線嗎？為什么？．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為10，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）BD是⊙O的切線．先連接OB，由于AC是直徑，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，結合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，從而可證DB是⊙O的切線；
（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圓周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易證△EBF∽△CAF，于是，從而易求△ACF的面積．
解答：解：（1）BD是⊙O的切線．
理由：如右圖所示，連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠C=90°，
∵∠3=∠C，
∴∠2+∠3=90°，
∴DB是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BFA=，
∴，
∵∠E=∠C，∠4=∠5，
∴△EBF∽△CAF，
∴，
即，
解之得：S_△ACF=22.5．
點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質、圓周角定理、余弦．解題的關鍵是連接OB，并證明△EBF∽△CAF．