Question

13．已知方程2x²+x-$\frac{1}{2}$=0的兩根為x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$，方程2x²+2x-2=0的兩根為x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，方程2x²+3x-$\frac{9}{2}$=0的兩根為x=$\frac{-3±3\sqrt{5}}{4}$．
（1）方程2x²+4x-8=0的兩根為x=-1±$\sqrt{5}$．
（2）依此類推，若ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則方程ax²+kbx+k²c=0的兩根為kx₁，kx₂（k為正整數(shù)）
（3）證明（2）中的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）研究給定條件里面的規(guī)律，可以得出：2x²+nx-$\frac{{n}^{2}}{2}$=0，（n∈N）的兩根為x=$\frac{n（-1±\sqrt{5}）}{4}$，代入n=4，此題得以解決；
（2）借助（1）的規(guī)律與結(jié)論，得出推斷；
（3）利用一元二次方程求根公式，將方程進行變換，即可得證推斷正確．

解答 解：（1）根據(jù)題意推斷：2x²+nx-$\frac{{n}^{2}}{2}$=0，（n∈N）的兩根為x=$\frac{n（-1±\sqrt{5}）}{4}$，
顯然當n=4時，兩根為x=-1±$\sqrt{5}$，
故答案為：-1±$\sqrt{5}$．
（2）結(jié)合題意與（1）斷定方程ax²+kbx+k²c=0的兩根為kx₁，kx₂（k為正整數(shù)），
故答案為：ax²+kbx+k²c=0．
（3）證明：∵ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
∴x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
對于方程ax²+kbx+k²c=0來說，
x=$\frac{-kb±\sqrt{{k}^{2}^{2}-4a{k}^{2}c}}{2a}$=k$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
即若ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，方程ax²+kbx+k²c=0的兩根為kx₁，kx₂（k為正整數(shù)），
證畢．

點評 本題考查了一元二次方程求根公式的運用，解題關(guān)鍵在于先借助于（1）的規(guī)律，找對方程，再利用一元二次方程求根公式加以驗證．