Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=7，∠ADC=∠CBA=90°，tanA=2，求CD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明四邊形CDFE為矩形，得到DC=EF（設(shè)為2λ），DF=CE；證明AF=λ，BC=2BE（設(shè)BE為μ）；證明AE=

5

λ，CE=

5

μ，運用AB=BC，AD=7，列出關(guān)于λ、μ的方程組，即可解決問題．

解答：解：過點C作CE⊥CD，交AB于點E；
過點E作EF⊥AD于點F；
則四邊形CDFE為矩形，
∴DC=EF（設(shè)為2λ），CE∥DF，
DF=CE，∠CEF=90°；
∴∠A=∠CEB；
∵tanA=2，
∴

EF

AF

=

BC

BE

=2，
∴AF=λ，BC=2BE（設(shè)BE為μ）；
由勾股定理得：AE=

5

λ，CE=

5

μ，
∵AB=BC，AD=7，
∴

5 λ+μ=2μ λ+ 5 μ=7

，
解得：λ=

7

6

，
∴CD的長=

7

3

．

點評：該題主要考查了直角三角形的邊角關(guān)系、勾股定理、矩形的判定及性質(zhì)等幾何知識點的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形、直角三角形．