如圖,在平面直角坐標系xOy中,四邊形ABCD是菱形,頂點A.C.D均在坐標軸上,且AB=5,sinB=.
(1)求過A.C. D三點的拋物線的解析式;
(2)記直線AB的解析式為y1=mx+n,(1)中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c,求當y1<y2時,自變量x的取值范圍;
(3)設直線AB與(1)中拋物線的另一個交點為E,P點為拋物線上A.E兩點之間的一個動點,當P點在何處時,△PAE的面積最大?并求出面積的最大值.
解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;
Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3;
OA=AD﹣OD=2,即:
A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);
設拋物線的解析式為:y=a(x+2)(x﹣3),得:
2×(﹣3)a=4,a=﹣;
∴拋物線:y=﹣x2+x+4.
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直線AB:y1=﹣x﹣;
由(1)得:y2=﹣x2+x+4,則:
,解得:,;
由圖可知:當y1<y2時,﹣2<x<5.
(3)∵S△APE=AE•h,
∴當P到直線AB的距離最遠時,S△ABC最大;
若設直線L∥AB,則直線L與拋物線有且只有一個交點時,該交點為點P;
設直線L:y=﹣x+b,當直線L與拋物線有且只有一個交點時,
﹣x+b=﹣x2+x+4,且△=0;
求得:b=,即直線L:y=﹣x+;
可得點P(,).
由(2)得:E(5,﹣),則直線PE:y=﹣x+9;
則點F(,0),AF=OA+OF=;
∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=××(+)=.
綜上所述,當P(,)時,△PAE的面積最大,為.
解析
科目:初中數學 來源: 題型:
BD |
AB |
5 |
8 |
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科目:初中數學 來源: 題型:
5 |
29 |
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科目:初中數學 來源: 題型:
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