Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）如果⊙O的直徑為5，sinA=$\frac{3}{5}$，求DE、BC的長．

Answer 1

分析 （1）先連接OD、AD，由于OD=OA，易知∠ODA=∠OAD，而AB=AC，AD⊥BC，結合等腰三角形三線合一定理，易證∠ODA=∠CAD，又由于DE⊥AC，那么∠EDA+∠CAD=90°，等量代換有∠EDA+∠ODA=90°，即可證DE是⊙O的切線；
（2）設AC于⊙O的交點為F，連接BF，根據圓周角定理易證∠AFB=90°，根據正弦函數求得BF，然后根據勾股定理求得AF，進而求得CF，根據勾股定理即可求得BC，根據平行線分線段成比例定理即可求得DE．

解答 解：（1）DE是⊙O的切線．
證明：連接OD，AD，如圖1，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵DE⊥AC，
∴∠EDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即：OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）設AC于⊙O的交點為F，連接BF，如圖2，
∵AB是直徑，
∵∠AFB=90°，
∵⊙O的直徑為5，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BF}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴BF=3，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∵AB=AC=5，
∴CF=5-4=1，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵DC=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形三線合一定理、切線的判定和性質、正弦的計算、勾股定理、平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是連接OD，AD，構造等腰三角形和直角三角形．