Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線y＝mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P(不與C重合)，使得△APB的面積與△ACB的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，y＝x+3；（2）點(diǎn)M（﹣1，2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出B（﹣3，0），然后可設(shè)交點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）（x+3），代入（0，3）求出a即可；然后再根據(jù)B、C坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；

（2）點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，直線BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，據(jù)此即可得解；

（3）△APB的面積與△ACB的面積相等，則|yP|＝yC＝3，即x22x＋3＝±3，求解即可．

（1）∵拋物線經(jīng)過A（1，0），且對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，

∴點(diǎn)B（﹣3，0），

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3），

代入C（0，3）得：3＝a×（﹣1）×3，

解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；

由直線BC的解析式為：y＝mx+n，

代入B（﹣3，0），C（0，3）得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝x+3；

（2）點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B（﹣3，0），直線BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，

∵直線BC的解析式為：y＝x+3，

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2，

∴點(diǎn)M（﹣1，2）；

（3）△APB的面積與△ACB的面積相等，則|yP|＝yC＝3，

即﹣x2﹣2x+3＝±3，

當(dāng)﹣x2﹣2x+3＝3時(shí)，解得：x1＝－2，x2＝0（舍去），

當(dāng)﹣x2﹣2x+3＝－3時(shí)，解得：x1＝，x2＝，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．