Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，且點(diǎn)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)（1）得到的函數(shù)解析式，可求出D、C的坐標(biāo)；易證得△OBC是等腰Rt△，若過A作BC的垂線，設(shè)垂足為E，在Rt△ABE中，根據(jù)∠ABE的度數(shù)及AB的長即可求出AE、BE、CE的長；連接AC，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC與△AFP，根據(jù)得到的比例線段，即可求出PF的長，也就求得了P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)時(shí)，△QBC的面積最大（因?yàn)锽C是定長），可過Q作y軸的平行線，交BC于S；根據(jù)B、C的坐標(biāo)，易求出直線BC的解析式，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式，分別表示出Q、S的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于QS的長以及Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，以QS為底，B、C橫坐標(biāo)差的絕對值為高可得到△QBC的面積，由于B、C橫坐標(biāo)差的絕對值為定值，那么QS最長時(shí)，△QBC的面積最大，此時(shí)Q離BC的距離最遠(yuǎn)；可根據(jù)上面得到的函數(shù)的性質(zhì)求出QS的最大值及對應(yīng)的Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（-3，0），
∴
解得：
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3（4分）

（2）由y=-x²-4x-3
可得D（-2，1），C（0，-3）
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°，（5分）
如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，
∴
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E
∴∠AEB=90°
可得，（6分）
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP（7分）
∴，，
解得PF=2（8分）
∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）或（-2，-2）（9分）

（3）設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)=kx+b，
直線BC經(jīng)過B（-3，0），C（0，-3），
∴
解得：k=-1，b=-3，
∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x-3（10分）
設(shè)點(diǎn)Q（m，n），過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，并過點(diǎn)Q作QS∥y軸交直線BC于點(diǎn)S，則S點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-3）
∴QS=n-（-m-3）=n+m+3（11分）
∵點(diǎn)Q（m，n）在拋物線y=-x²-4x-3上，
∴n=-m²-4m-3
∴QS=-m²-4m-3+m+3
=-m²-3m
=
當(dāng)m=時(shí)，QS有最大值（12分）
∵BO=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°
∵QS∥y軸，
∴∠QSH=45°
∴△QHS是等腰直角三角形；
∴當(dāng)斜邊QS最大時(shí)QH最大；（13分）
∵當(dāng)m=時(shí)，QS最大，
∴此時(shí)n=-m²-4m-3=-+6-3=；
∴Q（-，）；（14分）
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）時(shí)，點(diǎn)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)．
（注：1、如果學(xué)生有不同的解題方法，只要正確，可參考評分標(biāo)準(zhǔn)，酌情給分；2、對第（3）題，如果只用△=0求解，扣（2分）．理由：△=0判斷只有一個(gè)交點(diǎn)，不是充分條件）
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．