Question

已知，等腰△ABC，AB=AC
（1）如圖1，BM是△ABC的中線，點N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求證：BC=AN；
（2）如圖2，點G為外一點，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求線段CG的長；
（3）如圖3，等腰△ABC和等腰△ADE共頂點A，AD=AE，頂角∠DAE=∠BAC，點F是線段BE和CD的交點，連AF，請寫出∠AFC與∠ADE之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長BM至點D，使DM=BM，根據(jù)AM=CM，得出四邊形ABCD是平行四邊形，從而得出AD=BC，∠DBC=∠ADB，再根據(jù)∠ANM=∠DBC，得出∠ANM=∠ADB，即可得出BC=AN；
（2）延長CG，過點A作AM⊥CG于點M，根據(jù)AAS得出CMA≌△BHA，從而得出CM=BH=7，AM=AH，在Rt△AMG和△Rt△AHG中，根據(jù)HL得出△AMG≌△AHG，
即可得出GM=GH=1，再根據(jù)CG=CM-GM，即可得出答案；
（3）設(shè)AE與DF交于點M，根據(jù)ASA得出△ABE≌△ACD，得出∠AEB=∠ADC，再根據(jù)∠AMD=∠FME，得出△AMD∽△FME，從而得出

AM

DM

=

FM

ME

，再根據(jù)∠AMF=∠DME，得出△AMF∽△DME，從而得出∠MED+∠AFC=180°，再根據(jù)AD=AE，得出∠ADE=∠MED，即可得出∠ADE+∠AFC=180°．．

解答：解：（1）如圖1，延長BM至點D，使DM=BM，
∵AM=CM，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠DBC=∠ADB，
∵∠ANM=∠DBC，
∴∠ANM=∠ADB，
∴AN=AD，
∴BC=AN；

（2）如圖2，延長CG，過點A作AM⊥CG于點M，
∵AH⊥BG，
∴∠AHB=∠AMC，
∵∠BAC=∠BGC，
∴∠ABH=∠ACM，
在△CMA和△BHA中，

∠AHB=∠AMC ∠ABH=∠ACM AB=AC

，
∴△CMA≌△BHA（AAS），
∴CM=BH=7，AM=AH，
在Rt△AMG和△Rt△AHG中，

AG=AG AM=AH

，
∴△AMG≌△AHG（HL），
∴GM=GH=1，
∴CG=CM-GM=7-1=6，

（3）如圖3，設(shè)AE與DF交于點M，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AMD=∠FME，
∴△AMD∽△FME，
∴

AM

FM

=

DM

ME

，
∴

AM

DM

=

FM

ME

，
∵∠AMF=∠DME，
∴△AMF∽△DME，
∴∠MED=∠MFA，
∴∠MED+∠AFC=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠MED，
∴∠ADE+∠AFC=180°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．