Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作第3個(gè)正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2個(gè)正方形的面積為45；第2015個(gè)正方形的面積為20×$（\frac{9}{4}）$²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 根據(jù)：$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，同理可證：$\frac{{B}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，找到規(guī)律求出第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)即可解決問題．

解答 解：∵∠DAO+∠BAA₁=90°，∠BAA₁+∠BA₁A=90°，OD=4，OA=2，
∴∠DAO=∠AA₁B，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴$\frac{DO}{AB}=\frac{OA}{B{A}_{1}}$，
∴$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，
同理可證：$\frac{{B}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$…
∴第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，
第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$×$\frac{3}{2}$，
第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）²
…
第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為3$\sqrt{5}$，面積為45．
第2015個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴，面積為20×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁴．
故答案分別為45，20×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握從特殊到一般的推理方法是解決問題的關(guān)鍵．