Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，點M、N分別是邊AB、BC的中點，點P是對角線AC上的動點，若PM+PN的最小值是1，則菱形ABCD的面積是

 

．

Answer 1

分析：本題作點M關于AC的對稱點M′，根據(jù)軸對稱性找出點P的位置，從而求出菱形的邊長，然后分別求出菱形的兩條對角線的長度，再根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半列式進行計算即可求解．

解答：解：作M點關于AC的對稱點M′，連接M′N，則與AC的交點P′即是P點的位置．
∵點M、N分別是邊AB、BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，當PM+PN最小時P在AC的中點，
此時，AB=PM+PN=1，
∵∠ADC=120°，
∴△ABD是等邊三角形，
連接BD，則BD=AB=1，
AC=2MN=2

12-( 1 2 )2

=

3

，
∴菱形ABCD的面積為：

1

2

AC•BD=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
故答案是：

3

2

．

點評：本題考查軸對稱--最短路線問題及菱形的性質．正確確定P點的位置是解題的關鍵．