Question

8．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AP，BP，CP．將△PAB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，若AP=2，BP=4，∠APB=135°．求PP′及PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可求出PP′，欲求PC只要證明△PP′C是直角三角形，然后利用勾股定理解決．

解答 解：∵△BCP′是由△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得
∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，
∴PP′=$\sqrt{P{B}^{2}+P′{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
∴PC=$\sqrt{P′{P}^{2}+P′{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是135°角的應(yīng)用，由135°推出∠PP′C=90°，屬于中考�？碱}型．