Question

17．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=2AD，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若BD=8，AC=12，求?ABCD的面積以及AB，CD兩條平行線間的距離．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AC=2OA，再證明OA=AD，由E為OD的中點(diǎn)，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證出AE⊥BD；
（2）由已知條件得出OA、OE的長，由勾股定理求出AE，求出?ABCD的面積=2S_△ABD=32$\sqrt{2}$，得出△ABD的面積=16$\sqrt{2}$，設(shè)AB，CD兩條平行線間的距離為x，由勾股定理求出AB，在由△ABD的面積求出x即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC=2OA，
∵AC=2AD，
∴OA=AD，
又∵E為OD的中點(diǎn)，
∴AE⊥BD；
（2）解：∵BD=8，
∴OE=2，BE=6，
∵AC=12，
∴AO=6，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴?ABCD的面積=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×BD•AE=8×4$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$，
∴△ABD的面積=16$\sqrt{2}$，
設(shè)AB，CD兩條平行線間的距離為x，
∵AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
則$\frac{1}{2}$x•AB=16$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{17}$x=16$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{16}{17}$$\sqrt{34}$，即AB，CD兩條平行線間的距離為$\frac{16}{17}$$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識；由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出AE⊥BD，并運(yùn)用勾股定理和計(jì)算△ABD的面積使問題（2）得到解決．