Question

如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，DF是圓的切線，過點(diǎn)F作BC的垂線交BC于點(diǎn)G．若AF的長(zhǎng)為2，則FG的長(zhǎng)為

3

3

．

Answer 1

分析：連結(jié)OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DF，再證明OD∥AB，則DF⊥AB，在Rt△ADF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DF=

3

AF=2

3

，由BC為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，則AD=CD=4，OD=4，所以O(shè)M=

1

2

OD=2，在Rt△DFH中可計(jì)算出FH=

3

，DH=

3

FH=3，則GM=3，于是OG=GM-OM=1，BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中可計(jì)算FG=

3

BG=3

3

．

解答：解：連結(jié)OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，
∵DF是圓的切線，
∴OD⊥DF，
∵△ODC為等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠A=∠ODC，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，
∴AD=4，DF=

3

AF=2

3

，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD=4，
∴OD=4，
∴OM=

1

2

OD=2，
在Rt△DFH中，∠DFH=60°，DF=2

3

，
∴FH=

3

，DH=

3

FH=3，
∴GM=3，
∴OG=GM-OM=1，
∴BG=OB-OG=3，
在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，
∴FG=

3

BG=3

3

．
故答案為3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．