Question

把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫做第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運算，……如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”．例如：

，

，

所以32和70都是“快樂數(shù)”．

（1）寫出最小的兩位“快樂數(shù)”；判斷19是不是“快樂數(shù)”；請證明任意一個“快樂數(shù)”經(jīng)過若干次運算后都不可能得到4；

（2）若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)” ．　

Answer 1

解：（1）最小的兩位“快樂數(shù)”10，                     ……………………1分

19是快樂數(shù)．                                             ……………………2分

證明：由題意只需證明數(shù)字4經(jīng)過若干次運算后都不會出現(xiàn)數(shù)字1．因為

37出現(xiàn)兩次，所以后面將重復(fù)出現(xiàn)，永遠不會出現(xiàn)1，所以任意一個“快樂數(shù)”經(jīng)過若干次運算后都不可能得到4．                                    ……………………5分

（2）設(shè)三位“快樂數(shù)”為，由題意，經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，所以第一次運算后結(jié)果一定是10或者100，所以，又因為

，所以當時，因為

（1）當，，三位“快樂數(shù)”為130，103

（2）當，，

（3）當，，三位“快樂數(shù)”為310，301

同理當時，因為， 所以三位“快樂數(shù)”有680，608，806，860．綜上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八個. ……………………8分

又因為三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，所以只有310和860滿足已知條件．                                         ……………………10分