Question

如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC=DC，求證：CA²-CB²=AB•AD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：連接AC，作CM⊥AB的延長(zhǎng)線于M，CN⊥AD于N，根據(jù)同圓中，等弦對(duì)等弧，等弧對(duì)等角得出∠BAC=∠DAC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠ADC=∠CBM，然后根據(jù)AAS求得△CBM≌△CDN（AAS），得出CM=CN；BM=DN，進(jìn)而根據(jù)HL求得△ACM≌△ACN求得AM=AN，從而求得AD=AB+2BM，根據(jù)勾股定理得出BC²=CM²+BM²…①，AC²=AM²+CM²=（AB+BM）²+CM²…②，②-①即可求得結(jié)論．

解答：證明：如圖所示：連接AC，作CM⊥AB的延長(zhǎng)線于M，CN⊥AD于N
∵BC=DC；
∴

BC

=

DC

∴∠BAC=∠DAC，
又∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
在△CBM與△CDN中，

∠ADC=∠CBM ∠CND=∠CMB=90° DC=BC

，
∴△CBM≌△CDN（AAS），
∴CM=CN；BM=DN，
在RT△ACM與RT△ACN中，

CM=CN AC=AC

，
∴△ACM≌△ACN（HL），
∴AM=AN，
∴AD=AN+DN=AM+DN=AB+BM+BM=AB+2BM，
在Rt△BCM中有：BC²=CM²+BM²…①
在Rt△ACM中有：AC²=AM²+CM²=（AB+BM）²+CM²…②
②-①得：AC²-BC²=AB²+2AB•BM=AB（AB+2BM）=AB•AD，
即CA²-CB²=AB•AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角、弦、弧的關(guān)系，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．