Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A、B，與x、y軸交于C、D，且滿足

k- 3

+（a+

3

）²=0．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)AB=BC時，求b的值；
（3）如圖2，當(dāng)b=2

3

時，連OA，將OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作∠MPN=60°，分別交直線AB和x軸于點(diǎn)M、N，求證：PM平分∠AMN．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,二次根式的性質(zhì)與化簡,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）由條件

k- 3

+（a+

3

）²=0即可求出k和a，即可解決問題．
（2）過點(diǎn)A作AE⊥OC，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥OC，垂足為F，如圖1，設(shè)點(diǎn)A（m，

3

m

），通過三角形相似可以用m表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式，就可求出m和b的值．
（3）易證△OAC和△OAP都是等邊三角形，結(jié)合∠MPN=60°可以證到△PON≌△PAE以及△POD≌△PAM，從而得到PN=PE，PD=PM，進(jìn)而證到△PED≌△PNM．由這幾組全等三角形就可得到∠PMA=∠PDO=∠PMN，則有PM平分∠AMN．

解答：（1）解：∵

k- 3

+（a+

3

）²=0，
∴k-

3

=0，a+

3

=0，
解得：k=

3

，a=-

3

，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

3

x

．

（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥OC，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥OC，垂足為F，如圖1，
設(shè)點(diǎn)A（m，

3

m

），
∵AE⊥OC，BF⊥OC，
∴AE∥BF．
∴△CFB∽△CEA．
∴

BF

AE

=

BC

AC

．
∵AB=BC，∴AC=2BC．
∴AE=2BF．
∴BF=

3

2m

．
∴OF=

3

3 2m

=2m．
∴點(diǎn)B（2m，

3

2m

）．
∵一次函數(shù)y=-

3

x+b與反比例函數(shù)y=

3

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A、B，
∴

- 3 m+b= 3 m -2 3 m+b= 3 2m

．
解得：

m= 2 2 b= 3 6 2

．
∴b的值為

3 6

2

．

（3）證明：延長AO與射線PN交于點(diǎn)D，連接AP，過點(diǎn)A作AH⊥OC，垂足為H，如圖2，
聯(lián)立

y=- 3 x+2 3 y= 3 x

．
解得：

x=1 y= 3

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），OH=1，AH=

3

．
∴OA=2，∠AOH=60°．
由-

3

x+2

3

=0得x=2，則OC=2．
∴OA=OC．
∴△OAC是等邊三角形．
∴∠OAC=60°，OA=AC．
∵OP=OA，∠AOP=60°，
∴△AOP是等邊三角形．
∴OP=AP，∠PAO=∠OPA=60°．
∵∠NPM=60°，
∴∠NPM=∠OPA．
∴∠NPO=∠EPA．
∵∠PON=180°-∠AOP-∠AOC=60°，
∴∠PON=∠PAE．
在△PON和△PAE中，

∠NPO=∠EPA OP=AP ∠PON=∠PAE

∴△PON≌△PAE（ASA）．
∴PN=PE．
同理可得：△POD≌△PAM．
∴PD=PM，∠PDO=∠PMA．
在△PED和△PNM中，

PE=PN ∠EPD=∠NPM PD=PM

．
∴△PED≌△PNM（SAS）．
∴∠PDE=∠PMN．
∴∠PMA=∠PMN．
∴PM平分∠AMN．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)等知識，綜合性非常強(qiáng)，有一定的難度．而證出△POD≌△PAM和△PED≌△PNM是解決第三小題的關(guān)鍵．