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如圖,一次函數y=ax+b與反比例函數y=
k
x
(x>0)的圖象交于點A、B,與x、y軸交于C、D,且滿足
k-
3
+(a+
3
2=0.
(1)求反比例函數解析式;
(2)當AB=BC時,求b的值;
(3)如圖2,當b=2
3
時,連OA,將OA繞點O逆時針旋轉60°,使點A與點P重合,以點P為頂點作∠MPN=60°,分別交直線AB和x軸于點M、N,求證:PM平分∠AMN.
考點:反比例函數綜合題,二次根式的性質與化簡,反比例函數與一次函數的交點問題,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,相似三角形的判定與性質
專題:壓軸題
分析:(1)由條件
k-
3
+(a+
3
2=0即可求出k和a,即可解決問題.
(2)過點A作AE⊥OC,垂足為E,過點B作BF⊥OC,垂足為F,如圖1,設點A(m,
3
m
),通過三角形相似可以用m表示出點B的坐標,將點A、B的坐標代入直線AB的解析式,就可求出m和b的值.
(3)易證△OAC和△OAP都是等邊三角形,結合∠MPN=60°可以證到△PON≌△PAE以及△POD≌△PAM,從而得到PN=PE,PD=PM,進而證到△PED≌△PNM.由這幾組全等三角形就可得到∠PMA=∠PDO=∠PMN,則有PM平分∠AMN.
解答:(1)解:∵
k-
3
+(a+
3
2=0,
∴k-
3
=0,a+
3
=0,
解得:k=
3
,a=-
3
,
∴反比例函數解析式為:y=
3
x


(2)解:過點A作AE⊥OC,垂足為E,過點B作BF⊥OC,垂足為F,如圖1,
設點A(m,
3
m
),
∵AE⊥OC,BF⊥OC,
∴AE∥BF.
∴△CFB∽△CEA.
BF
AE
=
BC
AC

∵AB=BC,∴AC=2BC.
∴AE=2BF.
∴BF=
3
2m

∴OF=
3
3
2m
=2m.
∴點B(2m,
3
2m
).
∵一次函數y=-
3
x+b與反比例函數y=
3
x
(x>0)的圖象交于點A、B,
-
3
m+b=
3
m
-2
3
m+b=
3
2m

解得:
m=
2
2
b=
3
6
2

∴b的值為
3
6
2


(3)證明:延長AO與射線PN交于點D,連接AP,過點A作AH⊥OC,垂足為H,如圖2,
聯(lián)立
y=-
3
x+2
3
y=
3
x

解得:
x=1
y=
3

∴點A的坐標為(1,
3
),OH=1,AH=
3

∴OA=2,∠AOH=60°.
由-
3
x+2
3
=0得x=2,則OC=2.
∴OA=OC.
∴△OAC是等邊三角形.
∴∠OAC=60°,OA=AC.
∵OP=OA,∠AOP=60°,
∴△AOP是等邊三角形.
∴OP=AP,∠PAO=∠OPA=60°.
∵∠NPM=60°,
∴∠NPM=∠OPA.
∴∠NPO=∠EPA.
∵∠PON=180°-∠AOP-∠AOC=60°,
∴∠PON=∠PAE.
在△PON和△PAE中,
∠NPO=∠EPA
OP=AP
∠PON=∠PAE

∴△PON≌△PAE(ASA).
∴PN=PE.
同理可得:△POD≌△PAM.
∴PD=PM,∠PDO=∠PMA.
在△PED和△PNM中,
PE=PN
∠EPD=∠NPM
PD=PM

∴△PED≌△PNM(SAS).
∴∠PDE=∠PMN.
∴∠PMA=∠PMN.
∴PM平分∠AMN.
點評:本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、二次根式的性質等知識,綜合性非常強,有一定的難度.而證出△POD≌△PAM和△PED≌△PNM是解決第三小題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,∠2=60°,若m∥n,則∠1的度數為( 。
A、30°B、40°
C、60°D、120°

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科目:初中數學 來源: 題型:

在邊長為2的正方形ABCD的邊BC上,有一點P由B點向C點方向運動(P與C不重合),設PB=x,四邊形APCD的面積為y,
(1)求出y與自變量x的函數關系式(要求寫出自變量的取值范圍);
(2)并且在直角坐標系中畫出它的圖象.

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科目:初中數學 來源: 題型:

解不等式,并把解集在數軸上表示出來.
2+x
2
2x-1
3

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科目:初中數學 來源: 題型:

化簡:
(1)
(-3)×(-6)
-4
5
÷
10
;       
(2)(
6
+3)(
6
-3)+(2
3
-1)2

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知,在Rt△OAB中,∠OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=2
2
,若以O為坐標原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,B點在第一象限內,將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內的點C處.
(1)求經過點O,C,A三點的拋物線的解析式.
(2)求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標.
(3)線段OB與拋物線交于點E,點P為線段OE上一動點(點P不與點O,點E重合),過P點作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:在線段OE上是否存在這樣的點P,使得PD=CM?若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,菱形ABCD的邊長為48cm,∠A=60°,動點P從點A出發(fā),沿著線路AB-BD做勻速運動,動點Q從點D同時出發(fā),沿著線路DC-CB-BA做勻速運動.
(1)求BD的長;
(2)已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s.經過12秒后,P、Q分別到達M、N兩點,試判斷△AMN的形狀,并說明理由,同時求出△AMN的面積;
(3)設問題(2)中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回,動點P的速度不變,動點Q的速度改變?yōu)閍 cm/s,經過3秒后,P、Q分別到達E、F兩點,若△BEF為直角三角形,試求a的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

計算:
(1)
2
3
+1)
(2)(
2
+1)(
2
-1).

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知一次函數y=-
4
3
x+8
的圖象與y軸、x軸的交點分別為A、B兩點,C點坐標為(-2,0),二次函數圖象經過A、B、C三點.

(1)求二次函數的解析式;
(2)P點為直線上方二次函數圖象上的動點,過P點作x軸平行線交一次函數圖象于點D,過P點作x軸垂線,垂足為F點,交一次函數于點E;
(Ⅰ)如圖①,設P點橫坐標為m,試用m表示出△DEP周長的表達式,并求△DEP周長的最大值;
(Ⅱ)如圖②,過A點作PF的垂線,垂足為M,以A、M、E為頂點作平行四邊形,設第四個頂點為Q,當Q點坐標為何值時,Q點落在二次函數圖象上.

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