Question

19．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．直線AB交y軸于點(diǎn)D，拋物線交y軸于點(diǎn)C．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=kx-6，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
（2）根據(jù)直線AB的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法即可求解；
（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴直線AB的解析式為y=2x-6，
（2）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，-4），
∴設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
∵點(diǎn)B在直線y=2x-6上，且橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
又∵點(diǎn)B在拋物線y=a（x-1）²-4上，
∴a（3-1）²-4=0，解之得a=1，
∴此拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；
（3）在y軸上存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形．理由如下：
作AE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E．
又∵點(diǎn)D是直線y=2x-6與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線y=x²-2x-3與y軸的交點(diǎn)
∴E（0，-4），D（0，-6），C（0，-3）
∴OD=6，OE=4，AE=1，ED=2，OC=3，OB=3，BD=$3\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{5}$
①如圖，當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，△DAQ₁∽△DOB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{D{Q}_{1}}{DB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{D{Q}_{1}}{3\sqrt{5}}$，
∴DQ₁=$\frac{5}{2}$，
∴OQ₁=6-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$，即Q₁（0，-$\frac{7}{2}$）；
②如圖，當(dāng)∠Q₂BA=90°時(shí)，△BOQ₂∽△DOB，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{O{Q}_{2}}{OB}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{O{Q}_{2}}{3}$，
∴OQ₂=$\frac{3}{2}$，即Q₂（0，$\frac{3}{2}$）；
③如圖，當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，則△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴$\frac{OB}{E{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{AE}$，即$\frac{3}{4-O{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{1}$，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，
∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)．（3）題較為復(fù)雜，需要考慮的情況也較多，因此要分類進(jìn)行討論．