Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的關(guān)系式，并判斷的形狀；

（2）在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D,且以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo) ；

（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°（2）D（，1）；（3）點(diǎn)P（，-）或（-，-9）

【解析】

試題分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可確定拋物線的解析式；進(jìn)而可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC、BC、AB的長，然后再判斷△ABC的形狀；

（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)符合點(diǎn)D的要求，由此可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：

①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

試題解析：（1）由題意得： ，

解得；

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+1；

∴C（0，1）；

∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=；

∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°

（2）由（1）的拋物線知：其對稱軸方程為x=；

根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知：點(diǎn)D（，1）；

（3）存在，點(diǎn)P（，-）或（-，-9）；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以BC、AP為底；

∵B（2，0），C（0，1），

∴直線BC的解析式為：y=-x+1；

設(shè)過點(diǎn)A且平行于BC的直線的解析式為y=-x+h，

則有：（-）×（-）+h=0，h=-；

∴y=-x-；

聯(lián)立拋物線的解析式有：

解得： 或

∴點(diǎn)P（，）；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以AC、BP為底，

同理可求得P（-，-9）；

故當(dāng)P（，）或（-，-9）；時(shí)，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

（根據(jù)拋物線的對稱性求出另一個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)亦可）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．