Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.

(1)求證：FD2=FB·FC.

(2)若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) GD⊥EF,理由見解析.

【解析】（1）要求證：FD2=FB×FC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉(zhuǎn)化為證明∠FDC=∠FBD；（2）要證明DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，轉(zhuǎn)化為證明∴∠3=∠4即可.

證明：（1）∵ ∠ACB=90°

∴ ∠ABC + ∠A= 90°，

∵ CD⊥AB于D，∴ ∠BDC=∠ADC=90°，

∴ ∠ABC +∠FCD=90°，∴ ∠A=∠FCD，

在Rt△ACD中，E為AC的中點，

∴ DE為Rt△ACD斜邊上的中線

∴ ED=EA，∴∠A=∠ADE，

∵∠ADE=∠FDB，

∴∠FCD=∠FDB，

在 △FDC和 △FBD中， ∠F=∠F, ∠FCD=∠FDB，

∴ △FDC∽△FBD，

∴=，即FD=FB·FC，

（2）GD⊥EF

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，

∴DG=GC，

∴∠CDG=∠DCG，

由（1）得∠FCD=∠FDB，

∴∠CDG=∠FDB，

∵∠CDG+∠BDG=90°，

∴∠BDG+∠FDB=90°，

∴DG⊥EF.

“點睛”證明線段的積相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，證明兩直線垂直轉(zhuǎn)化為證明形成的角是直角.