Question

【題目】如圖，在菱形中，對(duì)角線，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是，，與交于點(diǎn)，連接.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

（1）當(dāng)于時(shí)，求的值；

（2）設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻，使平分？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)；（2）；（3）當(dāng)時(shí)平分.

【解析】

（1）由題意得：，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO、BO、AB的值，再根據(jù)同角的余弦得出cos∠ABO ，代入計(jì)算即可求解；

（2）過(guò)作，垂足為，根據(jù)同角的正弦弦得出sin∠ABO ,求出MQ，根據(jù)平行證出，由相似三角形的性質(zhì)求出EQ，根據(jù)梯形的面積公式即可求得與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）假設(shè)存在時(shí)刻，使平分，則，過(guò)作，垂足為，先證出△PBQ是等腰三角形，根據(jù)三線合一可得BN=BQ=4-t，再根據(jù)同角的余弦得出cos∠ABO，代入計(jì)算即可求的值．

解：（1）由題意得：，，.

∵四邊形是菱形，

∴，，，

∴.

假設(shè)存在使，

在中，，

在中，，

即，

得.

∴當(dāng)時(shí)；

（2）過(guò)作，垂足為，

在中，

.

∵，，

∴，四邊形BPQE是梯形，

∴.

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

，

∴，

∴；

（3）假設(shè)存在時(shí)刻，使平分，則，

過(guò)作，垂足為，

∵，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

在中，，

∴，

解得.

∴當(dāng)時(shí)平分.

故答案為：（1）當(dāng)時(shí)；（2）；（3）當(dāng)時(shí)平分.