【題目】如圖,對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,5)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P為直線AB上的動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q.
①當(dāng)PQ=6時,求點P的坐標(biāo);
②是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①當(dāng)PQ=6時,點P的坐標(biāo)(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);②存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形,點P的坐標(biāo)為P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意確定拋物線與x軸的另一個交點,然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)①先求得直線AB的解析式,設(shè)P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),則PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,然后分m2﹣3m﹣4=﹣6或m2﹣3m﹣4=6兩種情況求得m的值,從而求得P點的坐標(biāo);
②由勾股定理,得PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2.然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三種情況列出關(guān)于m的方程,解方程求得m的值,即可求得P點的坐標(biāo).
解:(1)對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),得C(3,0),
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C點坐標(biāo)代入,得
,
解得,
設(shè)拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)①直線AB的解析式為y=x+1,設(shè)P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),
PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,
當(dāng)m2﹣3m﹣4=﹣6,
解得m=1,m=2,
∴P(1,2)或(2,3);
當(dāng)m2﹣3m﹣4=6,解得m=﹣2,m=5,
∴P(﹣2,﹣1)或(5,6);
綜上所述:當(dāng)PQ=6時,點P的坐標(biāo)(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);
(3)∵A(﹣1,0),P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),由勾股定理,得
PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2.
①當(dāng)PA=PQ時,(m+1)2+(m+1)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化簡,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.
于是,得(m﹣4)2﹣2=0,m+1=0.
解得m1=4+,m2=4﹣,m3=﹣1,
∵當(dāng)m=﹣1時,P點與A點重合,
∴P1(4+,5+),P2(4﹣,5﹣);
②當(dāng)PA=AQ時,(m+1)2+(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,化簡,得(m+1)2(m﹣3﹣1)2=0,
于是,得(m﹣4)2=0,解得m4=4,m5=﹣1,
∴P3(4,5);
③當(dāng)AQ=AP時,(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化簡,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.
于是,得(m2﹣2m﹣3)2=0.m+1=0,
解得m6=3,m7=﹣1,
∴P(3,4);
綜上,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形,點P的坐標(biāo)為P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲布袋中有三個紅球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3;乙布袋中有三個白球,分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4.這些球除顏色和數(shù)字外完全相同.小亮從甲袋中隨機(jī)摸出一個紅球,小剛從乙袋中隨機(jī)摸出一個白球.
(1)用畫樹狀圖(樹形圖)或列表的方法,求摸出的兩個球上的數(shù)字之和為6的概率;
(2)小亮和小剛做游戲,規(guī)則是:若摸出的兩個球上的數(shù)字之和為奇數(shù),小亮勝;否則,小剛勝.你認(rèn)為這個游戲公平嗎?為什么?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分.已知拋物線的對稱軸為x=2,與x軸的一個交點是(﹣1,0).有下列結(jié)論:
①abc>0;
②4a﹣2b+c<0;
③4a+b=0;
④拋物線與x軸的另一個交點是(5,0);
⑤點(﹣3,y1),(6,y2)都在拋物線上,則有y1<y2.
其中正確的是( )
A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.③④⑤
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】至2010年10月30日上海世博會累計入園人數(shù)約7277.99萬人,這個數(shù)據(jù)精確到( )
A. 百分位 B. 百位 C. 千位 D. 萬位
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)道路管理規(guī)定,在賀州某段筆直公路上行駛的車輛,限速40千米/時,已知交警測速點M到該公路A點的距離為10米,∠MAB=45°,∠MBA=30°(如圖所示),現(xiàn)有一輛汽車由A往B方向勻速行駛,測得此車從A點行駛到B點所用的時間為3秒.
(1)求測速點M到該公路的距離;
(2)通過計算判斷此車是否超速.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.24)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,DE為正方形的外角∠ADF的角平分線,點G在線段AD上,過點G作PG⊥DE于點P,連接CP,過點D作DQ⊥PC于點Q,交射線PG于點H.
(1)如圖1,若點G與點A重合.
①依題意補全圖1;
②判斷DH與PC的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)如圖2,若點H恰好在線段AB上,正方形ABCD的邊長為1,請寫出求DP長的思路(可以不寫出計算結(jié)果).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com