Question

（10分）如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．

（1）求的度數(shù)；

（2）求證：BC是⊙的切線；

（3）求弧AM的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）30°；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．

（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．

（3）根據(jù)垂徑定理求得∠AOM=60°，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出OA的長(zhǎng)度，即可求得弧AM的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，∴∠A=∠BOE=×60°=30°；

（2）在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線；

（3）∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，∴OM⊥AE，∵∠A=30°，∴∠AOM=60°，在RT△ABC中，tanC=，∵BC=，∴AB=BC•tanC==6，∴OA=AB=3，∴弧AM的長(zhǎng)==π．

考點(diǎn)：切線的判定．