已知拋物線y=-(x-m)2+1與x軸的交點為A、B(B在A的右邊),與y軸的交點為C.
(1)寫出m=1時與拋物線有關(guān)的三個正確結(jié)論;
(2)當(dāng)點B在原點的右邊,點C在原點的下方時,是否存在△BOC為等腰三角形的情形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由;
(3)請你提出一個對任意的m值都能成立的正確命題(說明:根據(jù)提出問題的水平層次,得分略有差異).

【答案】分析:(1)將m=1代入y=-(x-m)2+1化簡可得拋物線的解析式為y=-x2+2x;
(2)存在.令y=0時得出(x-m)2=1得出A,B的坐標(biāo).令x=0時得出點C在原點下方得出OC=m2-1,求出m的實際值;
(3)已知拋物線y=-(x-m)2+1,根據(jù)m值的不同分情況解答.
解答:解:(1)當(dāng)m=1時,拋物線的解析式為y=-x2+2x.
正確的結(jié)論有:
①拋物線的解析式為y=-x2+2x;
②開口向下;
③頂點為(1,1);④拋物線經(jīng)過原點;
⑤與x軸另一個交點是(2,0);
⑥對稱軸為x=1;等(3分)
說明:每正確寫出一個得一分,最多不超過(3分).

(2)存在.
當(dāng)y=0時,-(x-m)2+1=0,即有(x-m)2=1.
∴x1=m-1,x2=m+1.
∵點B在點A的右邊,
∴A(m-1,0),B(m+1,0)(4分)
∵點B在原點右邊
∴OB=m+1
∵當(dāng)x=0時,y=1-m2,點C在原點下方
∴OC=m2-1.(5分)
當(dāng)m2-1=m+1時,m2-m-2=0
∴m=2或m=-1(因為對稱軸在y軸的右側(cè),m>0,所以不合要求,舍去),
∴存在△BOC為等腰三角形的情形,此時m=2.(7分)

(3)如①對任意的m,拋物線y=-(x-m)2+1的頂點都在直線y=1上;
②對任意的m,拋物線y=-(x-m)2+1與x軸的兩個交點間的距離是一個定值;
③對任意的m,拋物線y=-(x-m)2+1與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為2.
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用,考生要注意的是要分情況解答未知數(shù),難度中上.
練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于不同的兩點A(x1,0)和B(x2,0),與y軸的精英家教網(wǎng)正半軸交于點C.如果x1、x2是方程x2-x-6=0的兩個根(x1<x2),且△ABC的面積為
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)求直線AC和BC的方程;
(3)如果P是線段AC上的一個動點(不與點A、C重合),過點P作直線y=m(m為常數(shù)),與直線BC交于點Q,則在x軸上是否存在點R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn).如圖,是某座拋物線型的廊橋示意圖,已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-
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x2+10,為保護廊橋的安全,在該拋物線上距水面AB高為8米的點E、F處要安裝兩盞警示燈,求這兩盞燈的水平距離EF(精確到1米).

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已知拋物線y=ax2(a>0)上有A、B兩點,它們的橫坐標(biāo)分別為-1,2.如果△AOB(O是坐標(biāo)原點)是直角三角形,求a的值.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點A(1,0),頂點為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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已知拋物線經(jīng)過點A(1,0)、B(2,-3)、C(0,4)三點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如果點D在這條拋物線上,點D關(guān)于這條拋物線對稱軸的對稱點是點C,求點D的坐標(biāo).

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