Question

（2009•青海）矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，-3），直線y=-x與BC邊相交于D點．
（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線y=ax²-x經過點A，試確定此拋物線的表達式；
（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：前兩問由拋物線性質，用待定系數求出點D的坐標和拋物線的表達式；最后一問找三角形相似，作輔助線過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P₂，再根據相似三角形比例關系求出P點坐標．
解答：解：（1）∵直線y=-x與BC邊相交于D點，知D點縱坐標為-3，
∴代入直線得點D的坐標為（4，-3）．（2分）

（2）∵A（6，0）在拋物線上，代入拋物線的表達式得a=，
∴y=x²-x．（4分）

（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點P₁符合條件．
∵OA∥CB，
∴∠P₁OM=∠CDO．
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO．（6分）
∵拋物線的對稱軸x=3，
∴點P₁的坐標為P₁（3，0）．（7分）
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P₂．
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠P₂MO=∠DOC．
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DOC．（8分）
∴點P₂也符合條件，∠OP₂M=∠ODC．
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO．（9分）
∴P₁P₂=CD=4．
∵點P₂在第一象限，
∴點P₂的坐標為P₂（3，4），
∴符合條件的點P有兩個，分別是P₁（3，0），P₂（3，4）．（11分）
點評：此題考查函數性質與坐標關系，最后一問探究點的存在性問題，幾何圖形形式問題和直角三角形性質．