Question

求所有不同質數p，q、r和s，使得它們的和仍然是質數，且p²+qs及p²+qr都是完全平方數．

Answer 1

分析：質數中除2是偶數外，其余均為奇數．p，q、r和s的和為質數，則四個數中必有一個為2．然后根據p²+qs或p²+qr是完全平方數并利用反證法推出p=2，而后利用分類討論，逐步篩掉不合題意者，推出正確答案．

解答：解：因為四個奇素數之和是大于2的偶數，所以所求的素數中必有一個為偶數2．
若p≠2，則p²+qs或p²+qr中有一個形如（2k+1）²+2（2l+1）=4（k²+k+l）+3，這是不可能的，因為奇數的平方除以4的余數是1，所以p=2．
設2²+qs=a²，則qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，則qs=5，因為q、s是奇素數，設2²+qs=a²，則qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，則qs=5，因為q、s是奇素數，所以上式是不可能的．于是只能是q=a-2，s=a+2，
或者q=a+2，s=a-2，
所以s=q-4或q+4．
同理r=q-4或q+4．
三個數q-4、q、q+4被3除，余數各不相同，因此其中必有一個被3整除．
q或q+4為3時，都導致矛盾，所以只能是q-4=3．
于是（p，q，r，s）=（2，7，3，11）或（2，7，11，3）．

點評：此題考查了質數與合數以及奇數之間的關系，根據題意，利用“篩法”逐步去掉不合題意的結論是解題的關鍵．