Question

3．小明研究了以下一種二叉圖形的結(jié)點(diǎn)（）數(shù)，如圖，一層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為1，二層二叉樹(shù)的點(diǎn)總數(shù)為3，三層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為7，…照此規(guī)律，你認(rèn)為八層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為（　�。�

• A． 127
• B． 168
• C． 255
• D． 512

Answer 1

分析 觀察圖形可知每增加一層，二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)會(huì)比前一個(gè)多出2^n-1個(gè)，而n層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為1+2+2²+2³+…+2 ^n-1是一個(gè)等比數(shù)列的和，即$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，再把n=8代入即可求解．

解答 解：由圖可知
一層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為1，
二層二叉樹(shù)的點(diǎn)總數(shù)為3=1+2
三層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為7=1+2+4=1+2+2²，
四層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為1+2+2²+2³，
…
n層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為1+2+2²+2³+…+2 ^n-1=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1
所以八層二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為：2⁸-1=255
故答案為：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)每增加一層，二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)會(huì)比前一個(gè)多出2^n-1個(gè)，從而得到一個(gè)等比數(shù)列．先找到一般方法再代入特殊值求解．