Question

如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：

  ①S₁+S₂=S₃+S₄               ② S₂+S₄= S₁+ S₃ 

   ③若S₃=2 S₁，則S₄=2 S₂      ④若S₁= S₂，則P點在矩形的對角線上

其中正確的結(jié)論的序號是    ▲    （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.

 

Answer 1

【答案】

②④。

【解析】矩形的性質(zhì)，相似

如圖，過點P分別作四個三角形的高，

 

 

∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，

∴此時兩三角形的高的和為AB，

∴S₁+S₃=S_矩形ABCD；

同理可得出S₂+S₄=S_矩形ABCD。

∴②S₂+S₄= S₁+ S₃正確，則①S₁+S₂=S₃+S₄錯誤。

若S₃=2 S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故結(jié)論③錯誤。

如圖，若S₁=S₂，則×PF×AD=×PE×AB，

 

 

∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四邊形AEPF是矩形，

∴矩形AEPF∽矩形ABCD。連接AC。

∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，

即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。

∴△APF∽△ACD�！唷螾AF=∠CAD�！帱cA、P、C共線。∴P點在矩形的對角線上。

故結(jié)論④正確。

綜上所述，結(jié)論②和④正確。