Question

如圖，已知∆ABC是等邊三角形，邊長為10，點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且AD=BE=CF,

（1）設(shè)AD為x，△ADF的面積為y，當(dāng)x為何值時，△ADF的面積最大，最大面積是多少？

（2）當(dāng)x為何值時，△ADF是直角三角形？

Answer 1

解：(1)因為AD為x，AD=BE=CF,所以AF=10－x……………1分

過F作AB的垂線，垂足為H……………2分

因為∆ABC是等邊三角形，所以∠A=60°,則FH=AF×sin60°=(10－x)×…………3分

所以y=(10－x) ×=－+5x……………4分

所以x=－==……………5分

y=－+5×=－+=……………6分

所以當(dāng)x=，△ADF的面積最大，最大面積是平方單位……………7分

（2）如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角根據(jù)勾股定理的逆定理得：+=

則+=

解得：（舍去），=……………8分

如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：+=

則+=，此方程無實數(shù)解……………9分

所以當(dāng)x=時，△ADF是直角三角形. ……………10分