Question

小虎訓(xùn)練上樓梯賽跑，他每步可上1階或2階或3階，這樣上到第16階但不踏到第7階和第15階，那么不同上法共有

1849

種．

Answer 1

分析：如果用n表示臺階的級數(shù)，an表示某人走到第n級臺階時，所有可能不同的走法，求出當(dāng)n=1，2，3，4時不同的走法，找出規(guī)律即可求解．

解答：解：如果用n表示臺階的級數(shù)，an表示某人走到第n級臺階時，所有可能不同的走法，容易得到：
①當(dāng)n=1時，顯然只要1種跨法，即a 1=1．
②當(dāng)n=2時，可以一步一級跨，也可以一步跨二級上樓，因此，共有2種不同的跨法，即a₂=2．
③當(dāng)n=3時，可以一步一級跨，也可以一步三級跨，還可以第一步跨一級，第二步跨二級或第一步跨二級，第二步跨一級上樓，因此，共有4種不同的跨法，即a₃=4．
④當(dāng)n=4時，分三種情況分別討論：
如果第一步跨一級臺階，那么還剩下三級臺階，由③可知有a₃=4（種）跨法．
如果第一步跨二級臺階，那么還剩下二級臺階，由②可知有a₂=2（種）跨法．
如果第一步跨三級臺階，那么還剩下一級臺階，由①可知有a₁=1（種）跨法．
根據(jù)加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7
類推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=0；
a₈=a₅+a₆=13+24=37；
a₉=a₆+a₈=24+34=61；
a₁₀=a₈+a₉=37+61=98；
a₁₁=a₈+a₉+a₁₀=37+61+98=196；
a₁₂=a₉+a₁₀+a₁₁=61+98+196=355；
a₁₃=a₁₀+a₁₁+a₁₂=98+196+355=649；
a₁₄=a₁₁+a₁₂+a₁₃=196+355+649=1200；
a₁₅=0，
a₁₆=a₁₃+a₁₄=649+1200=1849．
故答案為：1849．

點評：本題考查的是排列與組合問題，分別根據(jù)排列與組合原理求出當(dāng)n=1，2，3，4…時不同的走法，找出規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵．