Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩實(shí)數(shù)根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7為底邊和7為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，
解得：m=-4或m=6；
當(dāng)m=-4時(shí)原方程無(wú)解，
∴m=6；

（2）①當(dāng)7為底邊時(shí)，此時(shí)方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4（m+1）²-4（m²+5）=0，
解得：m=2，
∴方程變?yōu)閤²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
∵3+3＜7，
∴不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)7為腰時(shí)，設(shè)x₁=7，
代入方程得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=10或4，
當(dāng)m=10時(shí)方程變?yōu)閤²-22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能組成三角形；
當(dāng)m=4時(shí)方程變?yōu)閤²-10x+21=0，
解得：x=3或7，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為7+7+3=17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知兩根之和和兩根之積分別與系數(shù)的關(guān)系．