Question

若已知關(guān)于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個實根．
（1）試求m的取值圍；
（2）若這三個實根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，求此時m的取值范圍．
（3）若這三個實根作成的三角形是等腰三角形，求m值及三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）關(guān)于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個實根，即x²-4x+m=0有兩個實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可；
（2）求出方程的三個根，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列不等式解答即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，令方程的三個根兩兩相等，據(jù)此解答即可．

解答：解：（1）x=2是方程的一個根，則方程x²-4x+m=0必須有二個根，（2分）
所以，△=b²-4ac=16-4m≥0，
則m≤4．（4分）
（2）方程的三個實根為x1=2，x2=2+

4-m

，x3=2-

4-m

，（5分）
根據(jù)三角形的任兩邊之和必須大于第三邊得x₁+x₂＞x₃顯然成立；x₂+x₃＞x₁也顯然成立；x1+x3＞x2?

4-m

＜1?m＞3，（7分）
又由（1）知m≤4，
所以，要使方程的三個實根作為一個三角形的三條邊長的m取值范圍為3＜m≤4；（8分）
（3）若三角形是等腰三角形，則x₁=x₂或x₁=x₃或x₂=x₃，（9分）
可得m=4，此時三角形為邊長等于2的等邊三角形，（10分）
三角形的面積為

3

．（12分）

點評：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)等知識，要注意轉(zhuǎn)化，將原方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程來解答．