Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB,AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y= （x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：①菱形OABC的面積為80；   ②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8）；③雙曲線的解析式為y= （x＞0）；  ④,其中正確的結(jié)論有（      ）個(gè)。

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C.

試題分析：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵OB•AC=160，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴，菱形OABC的面積為80，故①正確；
又菱形OABC的邊長為10，
∴CF=
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴，
∴C（6，8），
∵點(diǎn)D時(shí)線段AC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即（8，4），
∵雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，
∴4=，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=（x＞0），故③錯(cuò)誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴，解得x=4，y=8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），故②正確；
∵CF=8，OC=10，
∴，故④正確；
故選C．
考點(diǎn): 反比例函數(shù).