Question

18．如圖，O為原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD，某拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D、點(diǎn)E（1，1）．
（1）若該拋物線過原點(diǎn)O，則a=-$\frac{1}{3}$；
（2）若點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，要使得符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則a的取值范圍是a＜-$\frac{1}{3}$或a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D、E的坐標(biāo)和c=0代入y=ax²+bx+c，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線交于y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線與直線OQ：y=-$\frac{1}{2}$x有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出不等式，解不等式即可求得．

解答 解：（1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠BAO}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐標(biāo)是（3，1），
把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=1}\\{a+b+c=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{3}$，
故答案為-$\frac{1}{3}$；
（2）如圖2，∵D（3，1），E（1，1），
拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)E、D，代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$，所以y=ax²-4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c開口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)．
（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，直線OQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的Q有2個(gè)；
（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜-$\frac{1}{3}$；

②當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c開口向上時(shí)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，
（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)；
（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q才兩個(gè)．
根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，此時(shí)直線OQ的斜率為-$\frac{1}{2}$，則直線OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）＞0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$＞0，解得a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$（a＜$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去）
綜上所示，a的取值范圍為a＜-$\frac{1}{3}$或a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．
故答案為a＜-$\frac{1}{3}$或a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)，最小值等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．