Question

4．已知：坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)F（0，2），點(diǎn)P為$（m，\frac{1}{4}{m^2}+1）$．
（1）點(diǎn)P一定在x軸上方（填：x軸上方或y軸右側(cè)）
（2）記P到x軸距離為d₁，點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離為d₂，證明：不論m取何值，總有d₁=d₂；
（3）若點(diǎn)Q為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，直接寫出使△PFQ為等邊三角形的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)P的縱坐標(biāo)是非負(fù)數(shù)，由此可確定點(diǎn)P的位置．
（2）求出d₁與d₂即可判定．
（3）分兩種情形討論：：①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0）．由題意可知：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}{m}^{2}$+1）=2，解方程即可．②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的下方時(shí)，由題意可知：$\frac{1}{4}$m²+1=2[2-（$\frac{1}{4}$m²+1]，解方程即可，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的上方時(shí)，由題意可知：$\frac{1}{4}$m²+1=2[（$\frac{1}{4}$m²+1）-2]，解方程即可．

解答 （1）解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
又∵$\frac{1}{4}$m²+1＞0，
∴點(diǎn)P在x軸的上方．
故答案為x軸的上方．
（2）證明：∵P的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²+1）；
∴d₁=$\frac{1}{4}$m²+1，
P到點(diǎn)F（0，2）的距離為d₂₌$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}{m}^{2}+1$
∴d₁=d₂．
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0）．
由題意可知：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}{m}^{2}$+1）=2，解得m=$±2\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)Q（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的下方時(shí)，由題意：$\frac{1}{4}$m²+1=2[2-（$\frac{1}{4}$m²+1]，解得m=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)點(diǎn)Q（0，$\frac{4}{3}$），
當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的上方時(shí)，由題意：$\frac{1}{4}$m²+1=2[（$\frac{1}{4}$m²+1）-2]，解得m=$±2\sqrt{3}$，此時(shí)點(diǎn)Q（0，6），
綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，$\frac{4}{3}$）和（0，6）．

點(diǎn)評 本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等知識，學(xué)會分類討論的方法，用方程的思想去思考問題，本題易漏解．