Question

20．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：BE=CE；
（2）連接OC交DE于點(diǎn)F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接BD、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODE=90°，易得BE=DE，再證得∠C=∠CDE，從而證明BE=CE．
（2）如圖2，作OH⊥AC于點(diǎn)H，連接OE，OD，易得OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，利用全等三角形的判定可得△DCF≌△EOF，證得BA=BC，可得∠A=45°，易得OH與CH的數(shù)量關(guān)系，由tan∠ACO=OH：HC，可得到tan∠ACO的值．

解答 解：（1）連接BD、OD，如圖1，
∵DE為切線，
∴∠ODE=90°，
∵∠ABC=90°，∠ODB=∠OBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵∠CDE+∠BDE=90°，∠DBE+∠C=90°，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∴BE=CE；

（2）作OH⊥AC于點(diǎn)H，連接OE，OD，如圖2，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF，
在△DCF與△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OEF}\\{∠DCF=∠EOF}\\{CF=OF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四邊形CEOD為平行四邊形，
∴CE=OD=OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°，
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan∠ACO=$\frac{OH}{CH}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了學(xué)生對全等三角形的判定方法及切線的判定，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．