Question

7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18，BC=21．點(diǎn)P從A出發(fā)沿AD以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，求：
（1）當(dāng)AB=10時(shí)，設(shè)A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）設(shè)E、F為AB、CD中點(diǎn)，求四邊形PEQF是平行四邊形時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成的圖形是梯形，根據(jù)圖形的面積公式進(jìn)行列式計(jì)算，即可得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC與G，得出DH∥FG，四邊形ABHD是矩形，再根據(jù)四邊形EPFQ是平行四邊形，得出△AEP≌△GFQ，根據(jù)QG=AP列出關(guān)于t的方程求解即可．

解答 解：（1）由題得，AP=t，CQ=2t，BQ=21-2t，AB=10，∠B=90°
∴A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積=$\frac{1}{2}$×（AP+BQ）×AB
∴S=$\frac{1}{2}$×（t+21-2t）×10=105-5t
∵18÷1=18，21÷2=10.5
∴定義域?yàn)椋?≤t≤10.5


（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC與G，則DH∥FG，四邊形ABHD是矩形
∵F是CD的中點(diǎn)
∴G是CH的中點(diǎn)，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$DH
∵∠B=90°，AD=18，BC=21
∴CH=21-18=3，CG=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{3}{2}$
∴QG=QC-GC=2t-$\frac{3}{2}$
當(dāng)四邊形EPFQ是平行四邊形時(shí)，PE=QF
又∵AE=FG=$\frac{1}{2}$AB，∠A=∠FGQ
∴△AEP≌△GFQ（HL）
∴QG=AP
即2t-$\frac{3}{2}$=t
解得t=$\frac{3}{2}$
故四邊形PEQF是平行四邊形時(shí)，t的值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了梯形以及平行四邊形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形ABHD．解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，這是得出方程的依據(jù)．