Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值．

（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？

（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2） ，y_DE =   △AOE∽△DAO（3）F₁ (3 ， 8) ；   F₂ (－3 ， 0) ；   F₃ ( ，)；  F₄ （－，）

【解析】解：(1) 解x²-7x+12=0得x₁=4，x₂=3

∵OA＞OB

∴OA =4， OB=3          ·························· 1分

在Rt△AOB中，由勾股定理有AB= 

∴sin∠ABC==           ······················· 1分

（2）∵點(diǎn)E在x軸上，S_△AOE=    有

得      ∴E（，0）或E（—，0）················· 1分

由已知可知D（6，4）     設(shè)，   

當(dāng)時有

 解得     

∴    ···························· 1分

   同理時，y_DE =      ·················· 1分

在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=

在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6

       ∵

∴△AOE∽△DAO               ······················· 1分

（3）滿足條件的點(diǎn)有四個

F₁ (3 ， 8) ；   F₂ (－3 ， 0) ；   F₃ ( ，)；  F₄ （－，）

······································ 4分

說明：本卷中所有題目，若由其它方法得出正確結(jié)論，可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分．

（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，再代入計算即可；

（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進(jìn)行求解計算．