Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)、B(a，b)，且a、b滿足1﹣2a+a2+(b)2=0．

（1）求a，b的值；

（2）若點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA=2，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q(不在x軸上)，QO=m，QA=n，QB=p，且p2=m2+n2，求∠OQA的度數(shù)．

（3）閱讀以下內(nèi)容：對于實(shí)數(shù)a、b有(a﹣b)2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，

即a2+b2≥2ab．

利用以上知識，在（2）的條件下求△AOQ的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b；（2）∠OQA的度數(shù)為30°或150°；（3）當(dāng)∠OQA=30°時(shí)，△AOQ的面積的最大值為2；當(dāng)∠OQA=150°時(shí)，△AOQ的面積的最大值為2．

【解析】

（1）由題意根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，即可求得a和b的值；

（2）根據(jù)題意易證△OAB為等邊三角形，故可通過把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AOC，把已知的QO＝m、QA＝n、QB＝p統(tǒng)一到△OCQ中，得到△OCQ是直角三角形，再加上旋轉(zhuǎn)得到的∠AQC＝60°，即能求出∠OQA的度數(shù)；但由于不確定點(diǎn)Q的位置，故需分點(diǎn)Q在△OAB內(nèi)部和點(diǎn)Q在△OAB外部兩種情況討論計(jì)算；

（3）由題意通過構(gòu)造OQ邊上的高AH求得△AOQ面積的表達(dá)式，根據(jù)條件給的不等式可知，當(dāng)a＝b時(shí)，ab可取得最大值為a2+b2，即OQ＝AQ時(shí)，△AOQ取得最大值；根據(jù)勾股定理把AQ＝OQ求出，即求出面積最大值；由于在（2）的條件下不確定∠OQA的度數(shù)，故需分兩種情況討論計(jì)算．

解：（1）∵1﹣2a+a2+(b)2=0，

∴(1﹣a)2+(b)2=0，

∴1﹣a=0，b0，

∴a=1，b.

（2）∵OA=2即A(2，0)，B(1，)，

∴OB，AB，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OAB=60°，

把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AOC，連接CQ，

∴∠CAQ=∠OAB=60°，AC=AQ=n，OC=BQ=p，

∴△ACQ是等邊三角形，

∴CQ=AQ=n，∠AQC=60°，

∵p2=m2+n2即OC2=OQ2+CQ2，

∴△OCQ是直角三角形，∠OQC=90°，

①若點(diǎn)Q在△OAB的外部，如圖1，

則∠OQA=∠OQC﹣∠AQC=90°﹣60°=30°；

②若點(diǎn)Q在△OAB的內(nèi)部，如圖2，

則∠OQA=∠OQC+∠AQC=90°+60°=150°，

綜上所述：∠OQA的度數(shù)為30°或150°．

（3）∵a2+b2≥2ab，

∴當(dāng)a=b時(shí)，a2+b2=2ab成立，即此時(shí)ab取得最大值，

過點(diǎn)A作AH⊥OQ于H，如圖3，

∴∠AHQ=90°，

∵∠AQH=30°，

∴AHAQn，

∴S△AOQOQAHmnmn，

∴當(dāng)m=n時(shí)，S△AOQ取得最大值，

①當(dāng)∠OQA=30°時(shí)，如圖3．

∵OQ=AQ=n，QH，

∴OH=OQ﹣QH=nn，

∵OA=2，OA2=OH2+AH2，

∴(nn)2+(n)2=22，

解得：n2=4(2)，

∴S△AOQn2=2；

②當(dāng)∠OQA=150°時(shí)，如圖4，

∴OH=OQ+QH=nn，

∵OA=2，OA2=OH2+AH2，

∴(nn)2+(n)2=22，

解得：n2=4(2)，

∴S△AOQn2=2，

綜上所述：當(dāng)∠OQA=30°時(shí)，△AOQ的面積的最大值為2；

當(dāng)∠OQA=150°時(shí)，△AOQ的面積的最大值為2．