Question

已知拋物線M：y = -x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m> 0，n>0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線N與拋物線M關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，連結(jié)AC，BC，AB．

問(wèn)拋物線M上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

說(shuō)明：⑴如果你反復(fù)探索,沒(méi)有解決問(wèn)題, 請(qǐng)寫(xiě)出探索過(guò)程(要求至少寫(xiě)3步)；

⑵在你完成⑴之后,可以從①、②中選取一個(gè)條件，完成解答（選�、俚�7分；選�、诘�10分）．

①；②．

附加題: 若將26題中“拋物線M：y= -x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m> 0，n>0） ”改為“拋物線M：y= ax²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠ 0,a≠0, n>0） ”，其他條件不變, 探究 26題中問(wèn)題．

Answer 1

解：假設(shè)拋物線M上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，連結(jié)CP，作AD⊥x軸于D，交CP于E，

則AD為拋物線M的對(duì)稱軸，且PC = AB = BC

由拋物線的對(duì)稱性可得AC=BC， ∴AC = BC = AC．

從而△ABC為等邊三角形

∴∠ACG =∠BCG =30°

∵四邊形ABCP為菱形，且點(diǎn)P在拋物線M上，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱

∴∠ACE=90°－ 30° = 60°

∵由拋物線M配方得，

 

點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(m, m² +n)、C(0, n)，

∴AE= m²+n－n= m², CE = m．

在Rt△ACE中，

∴  ∵m> 0 

∴∴拋物線M上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，此時(shí)