Question

在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD．
（1）當點E為AB的中點時，如1，求證：EC=ED；
（2）當點E不是AB的中點時，如圖2，EC與ED還相等嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中點，AE=BE=BD，證出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；
（2）作輔助線證明△DBE≌△EFC即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE，∠ECB=

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∠ACB=30°，
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠DEB=

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2

∠ABC=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED．
（2）ED=EC． 理由如下：
過E點作EF∥BC交AC于F點．如圖2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等邊三角形，∠DBE=120°，
∴AE=AF=EF，∠AFE=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
又∵AE=BD，AB=AC，
∴BD=EF，BE=FC，
在△DBE和△EFC中，

BD=EF   ∠DBE=∠EFC   BE=FC

∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明角的關系和三角形全等是解決問題的關鍵．