Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），點(diǎn)P是直線AB上位于第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)b=3時(shí)，
①求直線AB的解析式；
②若QO=QA，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）是否同時(shí)存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由題意確定出B坐標(biāo)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的長，確定出Q橫坐標(biāo)，根據(jù)P與Q關(guān)于y軸對稱，得出P橫坐標(biāo)，代入直線AB解析式求出縱坐標(biāo)，即可確定出P坐標(biāo)；
（2）同時(shí)存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．

解答 解：（1）①由A（4，0），B（0，3），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3，
則直線AB解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
②∵QA=QO，OA=4，
∴x_Q=2，
∵點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，
∴x_P=-2，
代入直線AP解析式得-$\frac{3}{4}$×（-2）+3=$\frac{9}{2}$，
則P坐標(biāo)得P（-2，$\frac{9}{2}$）；
（2）①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴x_Q=4，
∴a=x_P=-4，
∴AC=AQ=8，即P（-4，8），
∴直線AP解析式為y=-x+4，
∴a=-4，b=4；
②若∠AQC=90°，如圖2所示，

則AC=4-a=2CH=-4a，
∴a=-$\frac{4}{3}$，
∴x_P=-$\frac{4}{3}$，y_P=y_q=$\frac{8}{3}$，即P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∴直線AP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴a=-$\frac{4}{3}$，b=2，
③P、Q重合于（0，4）時(shí)，△QCA也是等腰直角三角形，此時(shí)a=0，b=4
綜上所示，a=-4，b=4或a=-$\frac{4}{3}$，b=2或a=0，b=4．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．