【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點B(1,0)和點C(9,0)兩點,與y軸的負半軸相交于A點,過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A,M為y軸正半軸上的一個動點,直線MB交⊙P于點D,交拋物線于點N.
(1)求點A坐標和⊙P的半徑;
(2)求拋物線的解析式;
(3)當△MOB與以點B、C、D為頂點的三角形相似時,求△CDN的面積.
【答案】
(1)
解:如圖1所示:過點P作PE⊥BC,垂足為E.
∵PE⊥BC,
∴BE=EC=4.
∴OE=5.
∵⊙P與y軸相切,
∴PA⊥y軸.
∵∠PAO=∠AOE=∠OEP=90°,
∴四邊形AOEP為矩形.
∴AP=OE=5,AO=EP.
∴⊙P的半徑為5.
在Rt△BEP中,PE= = =3.
∴OA=3.
∴點A的坐標為(0,﹣3)
(2)
解:設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣9),將點A的坐標代入得:9a=﹣3,解得a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2 x﹣3
(3)
解:如圖2所示:當直線MB經(jīng)過點P時.
∵BD為⊙P的直徑,
∴∠BCD=90°.
∴∠BCD=∠MOB=90°.
又∵∠MBO=∠CBD,
∴△MOB∽△DCB.
設MB的解析式為y=kx+b,將點B和點D的坐標代入得 ,解得:k=﹣ ,b= .
∴直線MB的解析式為y=﹣ x+ .
將x=9代入得y=﹣6.
∴CD=6.
將y=﹣ x+ 與y=﹣ x2 x﹣3聯(lián)立解得:x=1或x= .
△CDN的面積= DC(xN﹣xD)= ×6× =
【解析】(1)過點P作PE⊥BC,垂足為E,連結AP.依據(jù)垂徑定理可知BE=EC=4則OE=5,然后再證明四邊形AOEP為矩形可求得到AP=OE=5,在Rt△BEP中,依據(jù)勾股定理可求得PE的長;(2)設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣9),將點A的坐標代入求解即可;(3)△MOB為直角三角形,則△BDC為直角三角形,故此只存在∠BCD為直角的情況,則MB經(jīng)過點P,然后求得MB的解析式,將直線BM的解析式與拋物線的解析式組成方程組可求得點N的坐標,然后依據(jù)CD∥y軸可求得點CD的長,最后依據(jù)△CDN的面積= DC(xN﹣xD)求解即可.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列判斷正確的是( )
A.“打開電視機,正在播NBA籃球賽”是必然條件
B.“擲一枚硬幣正面朝上的概率是 ”表示每擲硬幣2次就必有1次反面朝上.
C.一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,5,6的眾數(shù)和中位數(shù)都是5
D.若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.24,乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2=0.03,則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,∠AOB是平角,OM、ON分別是∠AOC、∠BOD 的平分線.
(1)知∠AOC=40°,∠BOD=60°,求∠MON的度數(shù);
(2)知∠COD=90°,求出∠MON的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:點P為線段AB上的動點(與A、B兩點不重合),在同一平面內(nèi),把線段AP、BP分別折成等邊△CDP和△EFP,且D、P、F三點共線,如圖所示.
(1)若DF=2,求AB的長;
(2)若AB=18時,等邊△CDP和△EFP的面積之和是否有最大值,如果有最大值,求最大值及此時P點位置,若沒有最大值,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔18海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處,此時漁船與燈塔P的距離約為海里(結果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin55°≈0.8,cos55°≈0.6,tan55°≈1.4).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點A(1,1),B(4,3),將點A向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度得到點C.
(1)寫出點C的坐標;
(2)畫出△ABC并判斷△ABC的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE,已知∠ABC=60°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)求證:△ABC≌△EAF;
(2)試判斷四邊形EFDA的形狀,并證明你的結論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點.
(1)求證:DE=DF,DE⊥DF;
(2)連接EF,若AC=10,求EF的長.
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