【題目】直角△ABC中,∠C=90°,點D,E分別是邊AC,BC上的點,點P是一動點.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若點P在線段AB上,如圖①,且∠α=50°,則∠1+∠2= ;
(2)若點P在斜邊AB上運動,如圖②,則∠α、∠1、∠2之間的關系為 ;
(3)如圖③,若點P在斜邊BA的延長線上運動(CE<CD),請直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關系: ;
(4)若點P運動到△ABC形外(只需研究圖④情形),則∠α、∠1、∠2之間有何關系?并說明理由.
【答案】(1)140°(2)∠1+∠2=90°+∠α(3)∠2﹣∠1=90°+∠α;∠2=∠1+90°;∠1﹣∠2=∠α﹣90°(4)∠2=90°+∠1﹣α,理由見解析
【解析】試題分析:(1)連接PC,根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,再表示出∠1+∠2即可;
(2)利用(1)中所求得出答案即可;
(3)利用三角外角的性質分三種情況討論即可;
(4)利用三角形內角和定理以及鄰補角的性質可得出.
解:(1)如圖,連接PC,
∵∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠DPE=∠α=50°,∠C=90°,
∴∠1+∠2=50°+90°=140°,
故答案為:140°;
(2)連接PC,
∵∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠C=90°,∠DPE=∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α;
故答案為:∠1+∠2=90°+∠α;
(3)如圖1,
∵∠2=∠C+∠1+∠α,
∴∠2﹣∠1=90°+∠α;
如圖2,∠α=0°,∠2=∠1+90°;
如圖3,∵∠2=∠1﹣∠α+∠C,
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°.
故答案為;∠2﹣∠1=90°+∠α;∠2=∠1+90°;∠1﹣∠2=∠α﹣90°.
(4)
∵∠PFD=∠EFC,
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC,
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2,
∴∠2=90°+∠1﹣α.
故答案為:∠2=90°+∠1﹣α.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線(m<0)與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),該拋物線的對稱軸與直線相交于點E,與x軸相交于點D,點P在直線上(不與原點重合),連接PD,過點P作PF⊥PD交y軸于點F,連接DF.
(1)如圖①所示,若拋物線頂點的縱坐標為,求拋物線的解析式;
(2)求A、B兩點的坐標;
(3)如圖②所示,小紅在探究點P的位置發(fā)現:當點P與點E重合時,∠PDF的大小為定值,進而猜想:對于直線上任意一點P(不與原點重合),∠PDF的大小為定值.請你判斷該猜想是否正確,并說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點,點E在BC邊上,且BE=BD,連結AE、DE、DC.
①求證:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度數.
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【題目】在平面直角坐標系中,△ABC上有一點P(0,2),將△ABC向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度,得到的新三角形上與點P相對應的點的坐標是_____.
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【題目】一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地.設先發(fā)車輛行駛的時間為x h,兩車之間的距離為y km,圖中的折線表示y與x之間的函數關系.根據圖象解決以下問題:
(1)慢車的速度為 km/h,快車的速度為 km/h;
(2)解釋圖中點D的實際意義并求出點D的坐標;
(3)求當x為多少時,兩車之間的距離為300km.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點E(-4,2),F(-2,-2),以原點O為位似中心,相似比為2,把△EFO放大,則點E的對應點E′的坐標是_____.
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【題目】如圖,直角三角形ABO放置在平面直角坐標系中,已知斜邊OA在x軸正半軸上,且OA=4,AB=2,將該三角形繞著點O逆時針旋轉120°后點B的對應點恰好落在一反比例函數圖象上,則該反比例函數的解析式為 .
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