Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB的平分線分別交⊙O、AB于點(diǎn)D、E，延長(zhǎng)AB使PC=PE．
（1）求AD的長(zhǎng)．
（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10cm，再利用角平分線定義得∠ACD=∠BCD=45°，則利用圓周角定理得到∠BAD=∠ABD=45°，于是可判斷△ABD為等腰直角三角形，然后利用AD=

2

2

AB進(jìn)行計(jì)算；
（2）連結(jié)OC，如圖，由PE=PC得∠PCE=∠PEC，則∠PCE=∠1+45°，利用三角形的外角性質(zhì)得∠PEC=∠2+∠ACE=∠2+45°，則∠2=∠1，加上∠2=∠3，所以∠1=∠3，易得∠1+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，所以根據(jù)切線的判定定理得到PC為⊙O的切線．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=10cm，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

cm；
（2）直線PC與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵PE=PC，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PCE=∠1+∠BCE=∠1+45°，∠PEC=∠2+∠ACE=∠2+45°，
∴∠2=∠1，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
而∠3+∠OCB=90°，
∴∠1+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．