Question

已知如圖，拋物線t=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸負(fù)半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于N，交⊙P于D．
（1）填空：A點坐標(biāo)是______，⊙P半徑的長是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點的坐標(biāo)；
（3）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

解：（1）將B（1，0）、C（4，0）兩點坐標(biāo)代入拋物線t=ax²+bx+c得：

解得 ①
由題意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y軸，
設(shè)P點坐標(biāo)為P（2.5，y_A ），由題意可知PA=PB=PC=2.5，
根據(jù)勾股定理可求得y_A=2，
∴A點坐標(biāo)是（0，2），⊙P半徑為的長為2.5，
將A點坐標(biāo)代入拋物線方程可得2=c，
聯(lián)立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴拋物線的方程為t=0.5x²-2.5x+2，
故答案為：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S_△BNC：S_△AOB===，
解得y_N=5，
將y_N=5代入拋物線的方程t=0.5x²-2.5x+2得：x₁=-1，x₂=6，
觀察圖形可知x₂=6符合題意，
∴N點的坐標(biāo)為N（6，5）；

（3）由題意可知△AOB∽△DBA，，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=，根據(jù)三角形相似可知BD=2，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
，
解得MB=，MD=MB+BD=，
∴MB•MD=×=．
分析：（1）先將B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線方程，再根據(jù)題意求得⊙P半徑，進(jìn)而求得拋物線方程；
（2）根據(jù)S_△BNC：S_△AOB=15：2求出N點的y坐標(biāo)，將y_N代入拋物線方程即可求得N點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和射影定理便可求得MB•MD的值．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的相似的性質(zhì)和射影定理等知識點，是各地中考的熱點和難點，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．