Question

如圖，平面中兩條直線l₁和l₂相交于點O，對于平面上任意一點M，若p、q分別是M到直線l₁和l₂的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，有以下幾個結(jié)論：
①“距離坐標(biāo)”是（0，1）的點有1個；
②“距離坐標(biāo)”是（5，6）的點有4個；
③“距離坐標(biāo)”是（a，a）（a為非負(fù)實數(shù)）的點有4個．
其中正確的有（　　）

A、0個

B、1個

C、2個

D、3個

Answer 1

分析：根據(jù)（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，得出 ①若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有且僅有1個；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有2個；
③若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有4個．
進(jìn)而得出解集從而確定答案．

解答：解：如上圖，平面中兩條直線l₁和l₂相交于點O，對于平面上任意一點M，
若p、q分別是M到直線l₁和l₂的距離，則稱有序非負(fù)數(shù)實數(shù)對（p、q）是點M的“距離坐標(biāo)”．
已知常數(shù)p≥0，q≥0，給出下列三個命題：
①若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有且僅有1個；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有2個；
③若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有4個．
與L1距離是1的點是與之平行的兩條直線 與L2的距離是2的也是與之平行的兩條直線，這四條直線共有4個交點．
2）易知p，q中有且僅有一個為0，當(dāng)p為0時，坐標(biāo)點在L1上，分別為關(guān)于O點對稱的兩點，反則在L2上也有兩點，但是這兩種情況不能同時存在，因為p，q是已知量，所以只有2個這樣的點
3）與前一題相似，L1上有4個或L2有4個，但不同時存在，所以題干正確，
題目中點到直線的距離，分別為p、q，由于p、q的范圍是常數(shù)p≥0，q≥0，所以對p、q進(jìn)行分類討論，驗證①②③是否成立．
①正確，此點為點O；
②正確，注意到p，q為常數(shù)，由p，q中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距離為q（或p）；
③正確，四個交點為與直線l₁相距為p的兩條平行線和與直線l₂相距為q的兩條平行線的交點．
故選B．

點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，有分類討論的思想方法，又有創(chuàng)新意識，解題時需要注意．這是一個好題，注意變形去掉p≥0，q≥0又該怎樣解是解決問題的關(guān)鍵．