Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；

（3）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）證明見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（， ）或（2，3）．

【解析】試題（1）將A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線(xiàn)段BC、CD、BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線(xiàn)解析式即可求解．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），∴將A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1．假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,①以CD為底邊，則P1D=P1C，設(shè)P1點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點(diǎn)（x，y）在拋物線(xiàn)上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不滿(mǎn)足在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)應(yīng)舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即點(diǎn)P1坐標(biāo)為（， ）．②以CD為一腰，∵點(diǎn)P2在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P2與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)P2坐標(biāo)為（2，3）．∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（， ）或（2，3）．