Question

2．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC垂直于邊AB，AB=1，平行四邊形ABCD的面積為$\sqrt{3}$，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線AC的距離是$\frac{1}{4}$，則PB的長是$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，作PM⊥AC于M，則PM=$\frac{1}{4}$，由平行四邊形的面積求出AC=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出BC=2，證明△CPM∽△CBA，得出對應(yīng)邊成比例求出CP，即可得出PB的長；②當(dāng)P在射線BC上時(shí)，同①得：CP=$\frac{1}{2}$，PB=AB+CP，即可得出結(jié)果．

解答 解：分兩種情況：
①點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，如圖1所示：
作PM⊥AC于M，則PM=$\frac{1}{4}$，
∵AC⊥AB，
∴PM∥AB，
∵平行四邊形ABCD的面積=AB×AC=$\sqrt{3}$，AB=1，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2，
∵PM∥AB，
∴△CPM∽△CBA，
∴$\frac{PM}{AB}=\frac{CP}{BC}$，
即$\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{CP}{2}$，
解得：CP=$\frac{1}{2}$，
∴PB=BC-CP=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)P在射線BC上時(shí)，如圖2所示：
同①得：CP=$\frac{1}{2}$，
∴PB=AB+CP=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
綜上所述：PB的長為$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$；
故答案為：$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似求出CP是解決問題的關(guān)鍵．